Muy buenas y gracias por tu comentario, te comento:
En primer lugar fue hace ya un tiempo y no lo recuerdo a la perfección, pero en esencia, lo que hicimos fue elegir cuatro puntos con respecto a los que rotar (los centros de las aristas que están en contacto con el suelo) y rotar el cubo con respecto a estos puntos dependiendo de la tecla que se pulsa (Hay un método en Unity que rota un objeto con respecto a un punto) hasta alcanzar una rotación de 90 grados. Posteriormente a esto reseteábamos la rotación del cubo (siendo igual en todos los lados no se nota). A decir verdad se me ocurren formas mejores de hacerlo ahora, pero en su momento era el primer proyecto al que nos enfrentábamos y teníamos poca experiencia, pero espero que te sea de ayuda.