Ciao a tutti! Sono Greta, e da quando ho scoperto My Red Goddess me ne sono subito innamorata.
Vorrei parlare della probabilità nell'uso del mazzo di carte in questo fantastico gioco.
Secondo le ultime indicazioni l'estrazione delle verità avviene direttamente dal mazzo con 36 carte (mazzo di carte francesi , da cui si tolgono gli assi, le figure e i jolly), di cui 18 di semi rossi e 18 di semi neri.
Dopo svariate partite finite con solamente 3 scene, contenenti 3 segreti, io e Daniele ci siamo chiesti: qual è la probabilità che venga estratta una carta rossa piuttosto che una nera ?
Questa nostra domanda si è poi estesa e trasformata in :
Qual è la probabilità di ottenere una partita con 3 scene (solo indizi/segreti), una con 4 scene (tre indizi e un segreto o viceversa) o 5 scene ?
Per analizzare la situazione avevo inizialmente pensato di utilizzare il teorema di Bernoulli delle prove ripetute, ma non avevo tenuto in considerazione un dettaglio importantissimo:
Le carte non vengono reinserite nel mazzo, una volta estratte.
Questa situazione ci pone di fronte ad un problema: gli eventi di estrazione sono dipendenti tra loro, in quanto il numero totale di carte nel mazzo diminuisce di estrazione in estrazione.
Per effettuare un calcolo valido ho quindi fatto ricorso alla probabilità condizionata, ovvero alla probabilità di un evento di accadere solo dopo che un altro evento è già accaduto.
Cercherò di spiegare il ragionamento che ho fatto per effettuare il calcolo.
Consideriamo innanzitutto i primi tre eventi di estrazione.
Se tutte e tre le carte hanno lo stesso colore, allora la partita finisce in 3 scene.
La prima carta estratta ha 18/36 = 1/2 possibilità di essere rossa, oppure nera (dove al numeratore ci sono i casi favorevoli, e al denominatore i casi possibili).
Supponiamo di aver ottenuto una carta rossa (primo segreto), e procediamo con la seconda estrazione.
Questa volta devo considerare che il mazzo contiene in totale 35 carte, avendo rimosso la prima carta rossa pescata; i casi possibili sono perciò 35.
I casi favorevoli per l'estrazione di una carta nera sono ancora 18, mentre quelli per l'estrazione di una carta rossa sono 17.
Avremo quindi ora che la probabilità di estrarre una carta nera è di: 18/35 ~ 51,4%, mentre quella di estrarre una carta rossa è di: 17/35 ~ 48,6%.
Supponiamo di nuovo di aver ottenuto una carta rossa (secondo segreto), e procediamo con la terza estrazione.
Ormai avrete capito il meccanismo, quindi sarò più sintetica.
Nel mazzo sono rimaste 34 carte (casi possibili).
Avremo 16 carte rosse rimanenti, con probabilità di estrazione di 16/34 ~ 47,1%, e ancora 18 carte nere rimanenti, con probabilità di estrazione di 18/34 ~ 52,9%.
A questo punto, estraendo una carta rossa, la partita finisce.
La probabilità totale che la partita finisca con tre carte rosse è data da:
P(E1 e E2 e E3) = P(E1) * P(E2|E1) * P(E3|(E2 e E1))
Ovvero dalla probabilità che avvenga il primo evento, moltiplicata per la probabilità che avvenga il secondo evento condizionata dall'avvenimento del primo evento, per la probabilità che avvenga il terzo evento condizionata dall'avvenimento degli altri due.
Nel nostro caso:
P(partita con 3 segreti) = (1/2)*(17/35)*(16/34) ~ 11,4%
Quindi la totale probabilità che una partita finisca con tre scene (tre segreti oppure tre indizi) è del:
11,4% * 2 = 22,8 %.
La probabilità complementare (ovvero il 77,2%) ci dà la probabilità che la partita abbia 4 o 5 scene.
Ma qual è la probabilità che ne abbia 4 oppure 5?
Per farlo ho calcolato, a partire da una combinazione di tre carte in cui due fossero uguali e una diversa, la probabilità di ottenere la quarta diversa o uguale alle due già estratte.
Mi spiego meglio con un esempio.
Prendiamo una triade di carte come campione:
1 rossa 2 rossa 3 nera.
(Lo stesso ragionamento vale per qualsiasi altra combinazione, provare per credere)
Se la quarta carta uscisse rossa, la partita finirebbe con 4 scene, mentre se fosse nera si finirebbe con 5 scene.
Ora: la probabilità che esca una carta rossa è di 16/33, mentre quella che esca una carta nera è di 17/33.
Significa che abbiamo, in questa unica estrazione, una probabilità del 48,5 % di estrarre una carta rossa, e del 51,5% di estrarne una nera.
Come comparare alla probabilità totale questo risultato?
Devo considerare che queste probabilità si riferiscono ad un totale del 77,2%; applico quindi una proporzione.
51.5 : 100 = 5scene : 77.2
48.5 : 100 = 4scene : 77.2
La probabilità di avere 5 scene è perciò del:
39.8%
La probabilità di avere 4 scene è invece del:
37.4%
La probabilità di avere 4 o 5 scene è più o meno equivalente. Sia io che Daniele credevamo che le partite più probabili fossero quelle con 4 scene, ma i numeri non mentono: la variabilità maggiore è favorita.
In conclusione, (su suggerimento di Daniele) posso dire che, su 5 partite :
2 di esse avranno 5 scene
2 di esse avranno 4 scene
1 di esse avrà 3 scene
Aspetto i vostri pareri sui metodi matematici da me usati.
Non sono un'esperta di statistica, quindi i vostri consigli sono graditissimi!
Greta